ارزش در معرض خطر، کسری مورد انتظار و خطرات توزیع نرمال

در اینجا یک داستان غیرمعمول در مورد یکی از دوستان سرمایه دار افسانه ای جان پیرپونت مورگان است که تمام پول خود را در بازار سهام سرمایه گذاری کرد. دوست او عصبی بود - او امیدوار بود که آن را ثروتمند کند، اما با احتمال بسیار واقعی از دست دادن همه چیز روبرو شد. وقتی مورگان را دید، به او گفت که چقدر نگران سرمایه گذاری هایش است، که باعث بی خوابی های زیادی برای او شد."باید چکار کنم؟"او درخواست کرد. مورگان به سادگی پاسخ داد: «بفروش تا به نقطه خواب برسی.»

ریسک و پاداش

چقدر می توانم با این سرمایه گذاری از دست بدهم؟هر سرمایه گذار این سوال را مطرح کرده است. همه ما به طور شهودی می دانیم که مبادله ریسک و بازدهی که مورگان به آن اشاره می کرد: دارایی های پرریسک تر مانند سهام، امکان بازدهی بالاتر همراه با نوسانات بالاتر را ارائه می دهند. دارایی های «ایمن تر»، مانند طلا و اوراق قرضه دولتی، نوسانات کمتری دارند اما بازده مورد انتظار کمتری دارند. با در نظر گرفتن این موضوع، چگونه می توانیم ریسک سرمایه گذاری خود را محاسبه کنیم؟

ارزش در معرض خطر و کسری مورد انتظار

ارزش در معرض خطر (VaR) و کسری مورد انتظار (ES) برای درک ریسک مالی اساسی هستند. VaR به یک سوال اساسی پاسخ می دهد:

بدترین ضرری که باید در یک افق زمانی مشخص برای یک سطح اطمینان معین انتظار داشته باشم سبد سهام من چیست؟

سوالات در مورد VaR معمولاً به این صورت بیان می شوند: "ارزش یک روزه در معرض خطر برای سبد من در سطح اطمینان 95٪ چیست؟"این نشان دهنده آلفای 0. 05 است، اما آلفاهای دیگری مانند 0. 01 و 0. 10 نیز اغلب استفاده می شوند. در زمینه توزیع، VaR واقعاً به یک چندک اشاره دارد. برای آلفای 0. 05، ما به کمیک 5 درصدی بازدهی خود علاقه داریم - به این معنی که 95 درصد بازده ما در سمت راست VaR است، در حالی که 5 درصد در سمت چپ است. هرچه آلفای ما کمتر باشد، در سمت چپ توزیع قرار می گیریم و VaR ما منفی تر می شود.

کمبود مورد انتظار به یک سوال متفاوت اما مرتبط پاسخ می دهد:

بازده مورد انتظار پرتفوی من در بدترین q% موارد چقدر است؟

برخلاف VAR ، که در توزیع بازده کمی مطابق با آلفا را پیدا می کند ، کمبود مورد انتظار میانگین بازده های سمت چپ VAR را می گیرد. اگر ما VAR را برای آلفا 0. 05 (5 ٪ کمی) محاسبه کنیم ، ES مربوطه میانگین بازده های روزانه را به سمت چپ آن نقطه می گیرد. ES یک اندازه گیری قوی تر از VAR است زیرا سنگین بودن دم چپ را به خود اختصاص می دهد. هنگامی که هر دو اقدام با هم استفاده می شوند ، ما این حس را پیدا می کنیم که در هر روز ، ماه یا سال چقدر ریسک پذیر است.

دریافت داده ها

برای محاسبه VAR و ES خودمان ، ما از داده ها برای Wilshire 5000 استفاده خواهیم کرد ، یک شاخص بازار سهام که به طور گسترده ای به عنوان گسترده ترین اندازه گیری قیمت سهام ایالات متحده در نظر گرفته می شود. ما می توانیم از QuantMod برای وارد کردن داده های خود از فرد ، بانک اطلاعاتی اقتصادی فدرال رزرو استفاده کنیم. ما همچنین از GGPLOT2 برای تجسم داده های خود استفاده خواهیم کرد. بیایید کتابخانه های خود را بارگیری کنیم ، داده ها را وارد کنیم و مشاهدات خود را بین ژانویه 1980 و ژوئن 2020 محدود کنیم. سپس می توانیم داده های خود را به عنوان یک سری زمانی ترسیم کنیم.

محاسبه برگه ورود به سیستم

ما به جای بازده حسابی سنتی برای محاسبات VAR و ES ، از لگاریتم طبیعی بازده روزانه استفاده خواهیم کرد. چندین مزیت برای استفاده از بازده ورود به سیستم وجود دارد ، مفیدترین این که توزیع بازده ورود به سیستم متقارن تر است و از نزدیک از نظر عادی در مقایسه با بازده حسابی تقریبی می کند (اگرچه ، همانطور که خواهیم دید ، این دیدگاه که به طور معمول توزیع می شود بسیار زیاد استفرض ناقص).

بیایید بازده ورود به سیستم روزانه ، میانگین و انحراف استاندارد را محاسبه کنیم ، سپس توزیع را ترسیم کنیم.

آزمایش برای نرمال بودن

توزیع بازده ما از دو روش مهم از عادی بودن منحرف می شود. اول ، توزیع ما دارای دمهای سنگین است - به عنوان توزیع لپتوکورتیک شناخته می شود. دوم ، بازده ورود به سیستم ما به صورت نامتقارن توزیع می شود: آنها توزیع سمت چپ را تشکیل می دهند ، به این معنی که بازده بسیار منفی تر از موارد بسیار مثبت وجود دارد.

ما می توانیم این مشاهدات را با استفاده از سه عملکرد از بسته Moments: Kurtosis () ، Skewness () و Jarque. Bera () تأیید کنیم. کورتوز سنگین بودن دم را اندازه گیری می کند (توزیع های طبیعی دارای کورتوز 3 است) و اندازه گیری میزان توزیع چگونه متقارن توزیع است (توزیع های عادی دارای صفر است). Jarque-Bera یک آزمایش آماری از مناسب است که ما می توانیم برای تأیید اینکه کورتوز و کمبود توزیع ما با نرمال بودن متفاوت است ، انجام دهیم.

فرضیه صفر Jarque-Bera این است که توزیع ما نرمال است. از آمار، می دانیم که وقتی آلفا بزرگتر از مقدار p باشد، فرضیه صفر را رد می کنیم. در این مورد، ما null را رد می کنیم و نتیجه می گیریم که بازده روزانه گزارش ما غیرعادی است. مقدار p ما اساساً صفر است (2. 2e-16)، بنابراین می توانیم فرض نرمال بودن را با اطمینان 99 درصد رد کنیم.

عملاً، این بدان معناست که بازده ثبت 5000 Wilshire بیش از آن چیزی است که ما بر اساس توزیع نرمال فرض می کنیم. نادیده گرفتن این واقعیت و استفاده از توزیع نرمال ما را نسبت به رویدادهای منفی در سطح قو سیاه ناآگاه و آسیب پذیر می کند زیرا خطر دم را دست کم می گیریم.

روش 1: نمونه گیری از توزیع تجربی

از آنجایی که استفاده از توزیع نرمال را برای یافتن VaR و ES رد کرده ایم، در عوض از چه چیزی می توانیم استفاده کنیم؟یکی از روش ها شبیه سازی مستقیم از توزیع تجربی بدون ایجاد هیچ فرضی در مورد شکل آن است. ما می توانیم VaR و ES یک روزه را با اطمینان 95% بر اساس شبیه سازی داده های تجربی با استفاده از کد زیر محاسبه کنیم.

این به ما می گوید که VaR یک روزه برای Wilshire 5000 در سطح اطمینان 95% -1. 64 و ES 2. 67- است. به عبارت دیگر، این بدان معناست که ما نباید انتظار داشته باشیم که در 95 درصد مواقع در هر روز معاملاتی با کاهشی بدتر از 1. 64 درصد مواجه شویم. ایالت های ES ما به ما می گوید که کاهش بیش از 2 درصدی یک روزه ممکن است، اما بسیار بعید است.

روش 2: نمونه گیری از توزیع دانشجویی-t

ما ثابت کرده ایم که بازده های ما به طور معمول توزیع نمی شوند، اما این بدان معنا نیست که نمی توانیم توزیع دیگری را با بازده هایمان تطبیق دهیم. توزیع Student-t یک کلاس گسترده از توزیع ها است که توزیع نرمال را در بر می گیرد اما دنباله های سنگین تری دارد. ما می توانیم یک توزیع Student-t «تغییر شده» را با بازده های خود - با استفاده از میانگین، انحراف استاندارد و مقدار درجات آزادی - به گونه ای که به طور منطقی توزیع ما را تقریب کند. ما می توانیم این کار را با استفاده از بسته های MASS و metRology انجام دهیم و سپس VaR و ES را با استفاده از این توزیع برازش مجدداً محاسبه کنیم.

نتایج ما با استفاده از این توزیع حاکی از ریسک کمتری نسبت به تخمین تجربی ما است. این بار، ما تخمین می زنیم که VaR ما در اطمینان 95٪ -1. 43٪ است، در حالی که ES 2. 11- است. یک روش لزوما بهتر از دیگری نیست، اما برای سرمایه گذار محافظه کار، بهتر است از نتایجی که از توزیع تجربی به دست آوردیم استفاده کند و بدترین VaR و ES را فرض کنیم.

اعمال نتایج ما

بیایید بگوییم که ما 1000 دلار در Wilshire 5000 سرمایه گذاری می کنیم. چگونه می توانیم VAR و ES را که فقط در این نمونه کارها محاسبه کرده ایم اعمال کنیم؟

در نهایت ، ما تغییرات در نمونه کارها خود را بر اساس بازده گسسته اندازه گیری می کنیم ، نه بازده ورود. ما به دلیل خاصیت آماری مناسب آنها از برگشتی استفاده می کنیم ، اما بازده گسسته مواردی است که معمولاً مورد استفاده و گزارش قرار می گیرند. بیایید VAR و ES تجربی خود را به بازده گسسته تبدیل کنیم ، آنها را از نظر سبد 1000 دلاری ما محاسبه کنیم و نتایج را تفسیر کنیم.

VAR ما به ما می گوید: ما انتظار نداریم بیش از 16. 30 دلار در هر روز معاملاتی 95 ٪ از زمان از دست بدهیم. ES ما به ما می گوید که در بدترین 5 ٪ موارد ، باید انتظار داشته باشیم که حدود 26. 24 دلار از دست بدهد.

این معیارها می توانند بر اساس تحمل ریسک و افق زمانی شما در زمینه های مختلف اعمال شوند. اگر شما یک تجارت روزانه هستید ، VAR و ES 1 روزه که محاسبه کردیم ، می تواند در نشان دادن اینکه استراتژی تجارت شما چقدر خطرناک است ، مفید باشد. اگر شما یک سرمایه گذار بلند مدت هستید ، می توانیم از عملکرد Apply. earty () در بازده ورود به سیستم خود استفاده کنیم و VAR و ES را دوباره محاسبه کنیم تا تعیین کنیم که در طی یک سال چقدر پول می توانیم از دست بدهیم.

نتیجه

امیدوارم از این آموزش لذت برده باشید و چیزی در مورد ریسک نمونه کارها آموخته باشید! اکنون می توانید داده های مالی را با استفاده از QuantMod دریافت کنید ، بازده ورود به سیستم را محاسبه کنید ، توزیع بازده را با بسته Moments تجزیه و تحلیل کنید و VAR و ES را چند روش مختلف اندازه گیری کنید. حتی روشهای پیشرفته تری برای اندازه گیری ریسک مالی وجود دارد و امیدوارم که آنها را در پست های آینده پوشش دهم. برای اطلاعات بیشتر در مورد نحوه تجزیه و تحلیل داده های مالی با استفاده از R ، پست قبلی من ، ساختمان و آزمایش اوراق بهادار سهام را در r بررسی کنید. با تشکر از خواندن!

کد و داده های این مقاله را می توان در GitHub من یافت.

درمورد من

نام من کریستین Kincaid است و من در حال تحصیل در امور مالی و اقتصاد در دانشگاه مریلند ، کالج پارک هستم. اگر از این پست لذت بردید ، مرا در متوسط دنبال کنید!