علاقه ساده و مرکب

ما باید هر روز با پول کار کنیم. در حالی که متعادل کردن دفترچه چک یا محاسبه هزینه های ماهانه خود در اسپرسو فقط به حسابی نیاز دارد ، هنگامی که ما شروع به صرفه جویی ، برنامه ریزی برای بازنشستگی می کنیم یا به وام نیاز داریم ، به ریاضیات بیشتری احتیاج داریم.

اهداف یادگیری

اهداف تکیه دهنده این بخش شامل موارد زیر است:

• علاقه ساده یک بار و علاقه ساده را با گذشت زمان محاسبه کنید
• با توجه به سناریوی علاقه ، APY را تعیین کنید
• محاسبه علاقه مرکب

علاقه ساده

بحث در مورد علاقه با مدیر شروع می شود ، یا میزان حساب کاربری خود را با آن شروع می کند. این می تواند یک سرمایه گذاری شروع یا شروع وام باشد. علاقه ، در ساده ترین شکل آن ، به عنوان درصد اصلی محاسبه می شود. به عنوان مثال ، اگر 100 دلار از یک دوست وام گرفته اید و موافقت می کنید که آن را با 5 ٪ سود بازپرداخت کنید ، میزان بهره ای که می پردازید فقط 5 ٪ از 100: 100 دلار (0. 05) = 5 دلار خواهد بود. کل مبلغی که بازپرداخت می کنید 105 دلار خواهد بود ، اصلی اصلی به علاوه بهره.

علاقه یک بار ساده

i = p _ 0 r a = p _ 0 + i = p _ 0 + p _ 0 r = p _ 0 (1 + r) شروع&I= ext>r\&A= ext>+I= ext>+ ext>r= ext>(1+r) \ پایانi = p _ 0 r a = p _ 0 + i = p _ 0 + p _ 0 r = p _ 0 (1 + r)

• من علاقه است
• A مقدار نهایی است: اصلی به علاوه علاقه

مثال ها

یکی از دوستان می خواهد 300 دلار وام بگیرد و موافقت خود را در 30 روز با 3 ٪ علاقه موافقت می کند. چقدر علاقه کسب خواهید کرد؟

پاسخ نشان می دهد

فیلم زیر از طریق این مثال با جزئیات کار می کند.

علاقه ساده یک بار فقط برای وام های بسیار کوتاه مدت متداول است. برای وام های طولانی مدت ، معمول است که بهره به صورت روزانه ، ماهانه ، سه ماهه یا سالانه پرداخت شود. در این حالت ، علاقه به طور مرتب به دست می آید.

به عنوان مثال ، اوراق قرضه در واقع وام ساخته شده به صادرکننده اوراق بهادار (یک شرکت یا دولت) توسط شما ، دارنده اوراق قرضه است. در ازای وام ، صادرکننده موافقت می کند که غالباً سالانه سود خود را بپردازد. اوراق قرضه دارای تاریخ سررسید است که در این زمان صادرکننده مقدار اوراق اصلی را پس می دهد.

تمرینات

فرض کنید شهر شما در حال ساخت یک پارک جدید است و برای جمع آوری پول برای ساخت آن ، اوراق قرضه را صادر می کند. شما یک اوراق قرضه 1000 دلاری دریافت می کنید که سالانه 5 ٪ سود را که در 5 سال بالغ می شود ، دریافت می کند. چقدر علاقه کسب خواهید کرد؟

پاسخ نشان می دهد

هر سال 5 ٪ سود کسب می کنید: 1000 دلار (0. 05) = 50 دلار بهره. بنابراین در طی پنج سال ، شما در مجموع 250 دلار بهره کسب می کنید. هنگامی که اوراق بهادار بالغ می شود ، 1000 دلار را که در ابتدا پرداخت کرده اید دریافت می کنید و در مجموع 1،250 دلار به شما می دهد.

توضیحات بیشتر در مورد حل این مثال را می توان در اینجا مشاهده کرد.

ما می توانیم این ایده را از علاقه ساده با گذشت زمان تعمیم دهیم.

علاقه ساده با گذشت زمان

I = P _ 0 R T A = P _ 0 + I = P _ 0 + P _ 0 R T = P _ 0 (1 + R T) شروع&I= ext>rt\&A= ext>+I= ext>+ ext>rt= ext>(1+RT) \ پایانi = p _ 0 r t a = p _ 0 + i = p _ 0 + p _ 0 r t = p _ 0 (1 + r t)

• من علاقه است
• A مقدار نهایی است: اصلی به علاوه علاقه

واحدهای اندازه گیری (سالها ، ماهها و غیره) برای زمان باید با مدت زمان نرخ بهره مطابقت داشته باشند.

APR - نرخ درصد سالانه

نرخ بهره معمولاً به عنوان نرخ درصد سالانه (APR) داده می شود - کل بهره ای که در سال پرداخت می شود. اگر بهره در افزایش زمان کوچکتر پرداخت شود ، APR تقسیم می شود.

به عنوان مثال ، ماهانه 6 ٪ APR پرداخت می شود به دوازده 0. 5 ٪ پرداخت تقسیم می شود.

6 ÷ 12 = 0. 5 6 div<12>= 0. 5 6 ÷ 12 = 0. 5

4 ٪ نرخ سالانه پرداخت شده سه ماهه به چهار پرداخت 1 ٪ تقسیم می شود.

4 ÷ 4 = 1 4 div<4>= 1 4 4 = 1

مثال

یادداشت های خزانه داری (T-notes) اوراق قرضه ای است که توسط دولت فدرال برای تأمین هزینه های آن صادر شده است. فرض کنید شما یک امتیاز 1000 دلاری با نرخ سالانه 4 ٪ ، پرداخت شده به صورت نیمه سالانه و با بلوغ در 4 سال بدست آورید. چقدر علاقه کسب خواهید کرد؟

پاسخ نشان می دهد

از آنجا که بهره به طور نیمه سالانه (دو بار در سال) پرداخت می شود ، 4 ٪ بهره به دو 2 ٪ پرداخت تقسیم می شود.

این فیلم راه حل را توضیح می دهد.

الآن امتحانش کن

الآن امتحانش کن

یک شرکت وام 30 دلار برای وام یک ماهه 500 دلار هزینه دارد. نرخ بهره سالانه آنها را شارژ کنید.

پاسخ نشان می دهد

من = 30 دلار علاقه

P 0 P_0 P 0 i = p 0 r t i = p_0rt i = p 0 r t ، ما گرفتیم 30 = 500 ⋅ R ⋅ 1 30 = 500 · R · 1 30 = 500 ⋅ R ⋅ 1

بشرحل ، R = 0. 06 یا 6 ٪ دریافت می کنیم. از آنجا که زمان ماهانه بود ، این علاقه ماهانه است. نرخ سالانه 12 برابر این خواهد بود: 72 ٪ سود.

الآن امتحانش کن

بهره مرکب

با علاقه ساده ، ما فرض می کردیم که وقتی آن را دریافت کردیم ، علاقه را جیب می کردیم. در یک حساب بانکی استاندارد ، هرگونه علاقه ای که به دست می آوریم به طور خودکار به مانده ما اضافه می شود و ما در سالهای آینده به آن علاقه بهره می بریم. این سرمایه گذاری مجدد علاقه را ترکیب می کند.

فرض کنید که ما 1000 دلار را در یک حساب بانکی واریز می کنیم که 3 ٪ بهره را ارائه می دهد ، ماهانه مرکب. پول ما چگونه رشد خواهد کرد؟

سود 3 ٪ نرخ درصد سالانه (APR) است - کل سود پرداخت شده در طول سال. از آنجا که بهره ماهانه پرداخت می شود ، هر ماه ، ما درآمد کسب خواهیم کرد

3 ٪ 12 frac 12 3 ٪

در ماه اول ،

• P₀= 1000 دلار
• R = 0. 0025 (0. 25 ٪)
• i = 1000 دلار (0. 0025) = 2. 50 دلار
• A = 1000 دلار + 2. 50 $ = 1002. 50 دلار

در ماه اول ، ما 2. 50 دلار سود کسب خواهیم کرد و مانده حساب خود را به 1002. 50 دلار افزایش می دهیم.

در ماه دوم ،

• P₀= 1002. 50 دلار
• I = 1002. 50 دلار (0. 0025) = 2. 51 دلار (گرد)
• A = 1002. 50 $ + 2. 51 $ = 1005. 01 $

توجه کنید که در ماه دوم ما بیشتر از آنچه در ماه اول انجام دادیم ، علاقه بیشتری کسب کردیم. این امر به این دلیل است که ما نه تنها به 1000 دلار اصلی که واریز کردیم ، بهره مند شدیم ، بلکه به 2. 50 دلار بهره که در ماه اول به دست آوردیم نیز سود کسب کردیم. این مزیت کلیدی است که علاقه مرکب به ما می دهد.

محاسبه چند ماه دیگر موارد زیر را نشان می دهد:

 

ماه	شروع تعادل	سود بدست آمده	تعادل پایان
1	1000. 00	2. 50	1002. 50
2	1002. 50	2. 51	1005. 01
3	1005. 01	2. 51	1007. 52
4	1007. 52	2. 52	1010. 04
5	1010. 04	2. 53	1012. 57
6	1012. 57	2. 53	1015. 10
7	1015. 10	2. 54	1017. 64
8	1017. 64	2. 54	1020. 18
9	1020. 18	2. 55	1022. 73
10	1022. 73	2. 56	1025. 29
11	1025. 29	2. 56	1027. 85
12	1027. 85	2. 57	1030. 42

ما می خواهیم روند محاسبه ترکیب را ساده کنیم ، زیرا ایجاد یک جدول مانند نمونه فوق وقت گیر است. خوشبختانه ، ریاضی در ارائه راه های میانبر خوب است. برای یافتن معادله ای برای نشان دادن این ، اگر P_mمیزان پول بعد از ماه را نشان می دهد ، سپس می توانیم معادله بازگشتی را بنویسیم:

 

P_m= (1+0. 0025) p_m-1شما احتمالاً این را به عنوان شکل بازگشتی رشد نمایی تشخیص می دهید. اگر اینگونه نباشد ، ما برای ساختن یک معادله صریح برای رشد در مثال بعدی مراحل را طی می کنیم.

مثال

برای رشد 1000 دلار در یک حساب بانکی که 3 ٪ بهره ، ماهانه مرکب را ارائه می دهد ، یک معادله صریح بسازید.

پاسخ نشان می دهد

با مشاهده یک الگوی ، می توانیم نتیجه بگیریم

توجه کنید که 1000 دلار در معادله P بود₀، مقدار شروعما با افزودن یک به نرخ رشد تقسیم شده توسط 12 ، 1. 0025 را پیدا کردیم ، زیرا 12 بار در سال ترکیب می شدیم.

با تعمیم نتیجه خود ، می توانستیم بنویسیم

p m = p 0 (1 + r k) m<_>=<_><<left(1+frac ight)>^>p m = p 0 (1 + k r) mدر این فرمول:

 

• m تعداد دوره های ترکیب (ماه ها در مثال ما) است
• r نرخ بهره سالانه است
• k تعداد ترکیبات در سال است.

این فیلم را برای پیاده روی مفهوم علاقه مرکب مشاهده کنید.

در حالی که این فرمول خوب کار می کند ، استفاده از فرمولی که شامل تعداد سالها باشد ، بیش از تعداد دوره های ترکیبی متداول است. اگر n تعداد سالها باشد ، سپس m = n k. ایجاد این تغییر فرمول استاندارد را برای علاقه مرکب به ما می دهد.

بهره مرکب

p n = p 0 (1 + r k) n k p_= P_ سمت چپ (1+ frac راست)^ p n = p 0 (1 + k r) n k

 

• P_Nتعادل در حساب بعد از n سال است.
• P₀تراز شروع حساب (همچنین به آن سپرده اولیه یا اصلی گفته می شود)
• r نرخ بهره سالانه به شکل اعشاری است
• k تعداد دوره های ترکیبی در یک سال است

   

• اگر ترکیب سالانه (یک بار در سال) انجام شود ، k = 1.
• اگر ترکیب سه ماهه انجام شود ، k = 4.
• اگر ترکیب ماهانه انجام شود ، K = 12.
• اگر ترکیب روزانه انجام شود ، K = 365.

مهمترین چیزی که باید در مورد استفاده از این فرمول به خاطر بسپارید این است که فرض می کند که ما یک بار پول را در حساب قرار می دهیم و اجازه می دهیم در آنجا سود کسب کند.

در مثال بعدی ، ما نشان می دهیم که چگونه می توان از فرمول بهره مرکب برای یافتن مانده در گواهی سپرده پس از 20 سال استفاده کرد.

مثال

گواهی سپرده (CD) ابزاری پس انداز است که بسیاری از بانک ها ارائه می دهند. این معمولاً نرخ بهره بالاتری را می دهد ، اما شما نمی توانید برای مدت زمان مشخصی به سرمایه گذاری خود دسترسی پیدا کنید. فرض کنید 3000 دلار در CD با پرداخت 6 ٪ بهره ، ماهانه مرکب واریز می کنید. بعد از 20 سال چقدر در حساب خواهید داشت؟

پاسخ نشان می دهد

در این مثال ،

 

P0= 3000 دلار	سپرده اولیه
r = 0. 06	6 ٪ نرخ سالانه
k = 12	12 ماه در 1 سال
n = 20	از آنجا که ما به دنبال این هستیم که پس از 20 سال چقدر خواهیم داشت

بنابراین

 

ص 20 = 3000 (1 + 0. 06 12) 20 × 12 = 9930. 61 $<_>= 3000<<left(1+frac<0.06> ight)>^>= 9930. 61 P 20 = 3000 (1 + 12 0. 06) 20 × 12 = 9930. 61 $(دور پاسخ خود به نزدیکترین پنی)

 

یک مشکل ویدیویی از این مشکل مثال در زیر موجود است.

بگذارید مبلغ پول به دست آمده از ترکیب را در برابر مبلغی که از سود ساده بدست می آورید مقایسه کنیم

 

سال ها	بهره ساده (15 دلار در هر ماه)	6 ٪ ماهانه = 0. 5 ٪ در هر ماه.
5	3900 دلار	4046. 55 دلار
10	4800 دلار	5458. 19 دلار
15	5700 دلار	7362. 28 دلار
20	6600 دلار	9930. 61 دلار
25	7500 دلار	13394. 91 دلار
30	8400 دلار	18067. 73 دلار
35	9300 دلار	24370. 65 دلار

As you can see, over a long period of time, compounding makes a large difference in the account balance. You may recognize this as the difference between linear growth and exponential growth.

الآن امتحانش کن

ارزیابی نمایندگان در ماشین حساب

هنگامی که ما نیاز به محاسبه چیزی شبیه به 53 داریم ، به اندازه کافی آسان است که فقط 5½5 5uk 5 = 125 را ضرب کنیم. اما هنگامی که ما نیاز به محاسبه چیزی مانند 1. 005240 داریم ، محاسبه این کار با ضرب 1. 005 به خودی خود 240 بار بسیار خسته کننده خواهد بود! بنابراین برای آسانتر کردن کارها ، می توانیم قدرت ماشین حساب های علمی خود را مهار کنیم.

بیشتر ماشین حساب های علمی دکمه ای برای نمایندگان دارند. به طور معمول یا برچسب مانند:

برای ارزیابی 1. 005240 ما می خواهیم 1. 005 ^ 240 یا 1. 005 YX 240 را امتحان کنیم.

مثال

شما می دانید که برای تحصیلات فرزندتان در 18 سال به 40،000 دلار نیاز دارید. اگر حساب شما 4 ٪ سه ماهه مرکب درآمد دارد ، برای رسیدن به هدف خود ، اکنون چقدر باید واریز کنید؟

پاسخ نشان می دهد

در این مثال ، ما به دنبال P هستیم₀ .

 

r = 0. 04	4%
k = 4	4 چهارم در 1 سال
n = 18	از آنجا که ما در 18 سال تعادل را می دانیم
P18= 40،000 دلار	مبلغی که در 18 سال داریم

در این حالت ، ما باید معادله را تنظیم کنیم و برای P حل کنیم₀ .

40000 = P _ 0 (1 + 0. 04 4) 18 × 4 40000 = P _ 0 (2. 0471) P _ 0 = 40000 2. 0471 = 19539. 84 شروع&40000= ext><<left(1+frac<0.04> ight)>^>\&40000= ext>(2.0471)\& ext>= frac = $ 19539. 84 \ پایان40000 = P _ 0 (1 + 4 0. 04) 18 × 4 40000 = P _ 0 (2. 0471) P _ 0 = 2. 0471 40000 = 19539. 84 $

بنابراین شما نیاز به واریز 19،539. 84 دلار اکنون دارید تا در 18 سال 40،000 دلار داشته باشید.

الآن امتحانش کن

گرد

مهم است که هنگام محاسبه چیزها با نمایندگان بسیار مراقب باشید. به طور کلی ، شما می خواهید در طول محاسبات به همان اندازه که می توانید اعشار را حفظ کنید. حتماً حداقل 3 رقم مهم را نگه دارید (اعداد بعد از هر صفر پیشرو). گردآوری 0. 00012345 تا 0. 000123 معمولاً پاسخ "به اندازه کافی نزدیک" را به شما می دهد ، اما نگه داشتن رقم بیشتر همیشه بهتر است.

مثال

برای دیدن اینکه چرا دور زدن بیش از حد بسیار مهم است ، فرض کنید شما به مدت 30 سال 1000 دلار در 5 ٪ بهره را به مدت 30 سال سرمایه گذاری کرده اید.

 

P0= 1000 دلار	سپرده اولیه
r = 0. 05	5%
k = 12	12 ماه در 1 سال
n = 30	از آنجا که ما بعد از 30 سال به دنبال مبلغ هستیم

اگر ابتدا R/K را محاسبه کنیم ، 0. 05/12 = 0. 00416666666667 را پیدا می کنیم

 

در اینجا تأثیر گرد کردن این به مقادیر مختلف است:

موارد زیر را برای نمایش این مثال مشاهده کنید.

با استفاده از ماشین حساب خود

در بسیاری از موارد ، می توانید با نحوه وارد کردن چیزها در ماشین حساب خود ، از گرد شدن کامل خودداری کنید. به عنوان مثال ، در مثال بالا ، ما نیاز به محاسبه داریم

P 30 = 1000 (1 + 0. 05 12) 12 × 30<_>= 1000<<left(1+frac<0.05> ight)>^>P 30 = 1000 (1 + 12 0. 05) 12 × 30ما می توانیم به سرعت 12 × 30 = 360 را محاسبه کنیم ،

 

ص 30 = 1000 (1 + 0. 05 12) 360<_>= 1000<<left(1+frac<0.05> ight)>^>P 30 = 1000 (1 + 12 0. 05) 360اکنون می توانیم از ماشین حساب استفاده کنیم.

 

 

این را تایپ کنید	نمایشگاه حسابگر
0. 05 ÷ 12 =.	0. 00416666666667
+ 1 =.	1. 00416666666667
YX 360 =.	4. 46774431400613
× 1000 =.	4467. 74431400613

با استفاده از ماشین حساب خود ادامه دهید

مراحل قبلی فرض بر این بود که شما یک ماشین حساب "یک عمل در یک زمان" دارید. یک ماشین حساب پیشرفته تر اغلب به شما امکان می دهد تا کل عبارت را ارزیابی کنید. اگر ماشین حساب مانند این دارید ، احتمالاً فقط نیاز به وارد کردن دارید:

1000 × (1 + 0. 05 ÷ 12) y x 360 =

حل برای زمان

توجه: این بخش فرض می کند که معادلات نمایی را با استفاده از لگاریتم ها ، چه در کلاس های قبلی و چه در فصل مدل های رشد ، پوشش داده اید.

غالباً ما علاقه مند به جمع آوری پول یا مدت زمان لازم برای افزایش وام برای کاهش پرداخت به سطح معقول هستیم.

مثال ها

اگر 2000 دلار در ماهانه 6 ٪ مرکب سرمایه گذاری کنید ، چه مدت طول می کشد تا حساب دو برابر شود؟

پاسخ نشان می دهد

این یک مشکل سود مرکب است ، زیرا ما یک بار پول را واریز می کنیم و اجازه می دهیم رشد کند. در این مشکل ،

 

P0= 2000 دلار	سپرده اولیه
r = 0. 06	6 ٪ نرخ سالانه
k = 12	12 ماه در 1 سال

بنابراین معادله کلی ما این است

p n = 2000 (1 + 0. 06 12) n × 12<_>= 2000<<left(1+frac<0.06> ight)>^>P N = 2000 (1 + 12 0. 06) N × 12بشرما همچنین می دانیم که می خواهیم مبلغ پایان ما دو برابر 2000 دلار باشد ، که 4000 دلار است ، بنابراین ما به دنبال N هستیم تا P_N= 4000. برای حل این موضوع ، معادله خود را برای p تنظیم می کنیم_Nبرابر با 4000.

 

4000 = 2000 (1 + 0. 06 12) N × 12 4000 = 2000<<left(1+frac<0.06> ight)>^>4000 = 2000 (1 + 12 0. 06) N × 12 تا سال 2000 هر دو طرف را تقسیم کنید 2 = (1. 005) 12 n 2 =<<left(1.005 ight)>^>2 = (1. 005) 12 n برای حل نماینده ، هر دو طرف را بگیرید

log u2061 (2) = log u2061 ((1. 005) 12 n) log سمت چپ (2 راست) = log سمت چپ (<<left(1.005 ight)>^> راست) lo g (2) = lo g ((1. 005) 12 n)

از ویژگی Exponent از سیاهههای مربوط در سمت راست استفاده کنید

log u2061 (2) = 12 n log u2061 (1. 005) log Left (2 RIGHT) = 12n log Left (1. 005 راست) LO G (2) = 12 N LO G (1. 005)

اکنون می توانیم هر دو طرف را با 12log تقسیم کنیم (1. 005) log u2061 (2) 12 log u2061 (1. 005) = n frac<logleft(2 ight)><12logleft(1.005 ight)>= n 12 l o g (1. 005) l o g (2) = n تقریب این به اعشاری

حدود 11. 581 سال طول خواهد کشید تا حساب دو برابر شود. توجه داشته باشید که اگر در طول محاسبات خود را ارزیابی کرده اید و در طول محاسبات خود را گرد کرده اید ، ممکن است کمی متفاوت متفاوت باشد ، اما پاسخ شما باید نزدیک باشد. به عنوان مثال اگر ورود به سیستم (2) به 0. 301 و ورود به سیستم (1. 005) به 0. 00217 را دور کردید ، پاسخ نهایی شما حدود 11. 577 سال خواهد بود.

راهنمایی های اضافی برای این مثال در زیر دریافت کنید:

مجوزها و ویژگی ها

محتوای دارای مجوز CC ، اصلی

• شناسه سوال 6692. نویسنده: لیپمن ، دیوید. مجوز: CC توسط: انتساب. شرایط مجوز: مجوز جامعه Imathas CC-by + GPL

محتوای دارای مجوز CC ، که قبلاً به اشتراک گذاشته شده است

• علاقه. نویسنده: NY. واقع در: https://www. picserver. org/i/interest. html. مجوز: CC توسط: انتساب
• ریاضی در جامعه. نویسنده: دیوید لیپمن. واقع در: http://www. opentextbookstore. com/mathinsocience/. مجوز: CC BY-SA: Attribution-Sharealike
• پول-سود-سود-سود-1604921. تألیف شده توسط: TheDigitalway. مجوز: CC0: هیچ حقوقی محفوظ است
• یک بار علاقه ساده. نویسنده: کانال OCLPhase2. مجوز: CC توسط: منبع
• علاقه ساده در طول زمان. نویسنده: کانال OCLPhase2. مجوز: CC توسط: منبع
• مثال ساده T-note. نویسنده: کانال OCLPhase2. مجوز: CC توسط: منبع
• شماره سوال 929. نویسنده: لیپمن، دیوید. مجوز: CC توسط: منبع . شرایط مجوز: مجوز انجمن IMathAS CC-BY + GPL
• شماره سوال 72476. نویسنده: دی، آلیسون. مجوز: CC توسط: منبع . شرایط مجوز: مجوز انجمن IMathAS CC-BY + GPL
• نمودار-نوار-کسب و کار-18134. نویسنده: PublicDomainPictures. مجوز: CC0: بدون حقوق محفوظ است
• بهره مرکب. نویسنده: کانال OCLPhase2. مجوز: CC توسط: منبع
• نمونه سی دی بهره مرکب. نویسنده: کانال OCLPhase2. مجوز: CC توسط: منبع
• بهره مرکب - اهمیت گرد کردن. نویسنده: کانال OCLPhase2. مجوز: CC توسط: منبع
• شماره سوال 6693. نویسنده: لیپمن، دیوید. مجوز: CC توسط: منبع . شرایط مجوز: مجوز انجمن IMathAS CC-BY + GPL

ویدیو های آموزشی فارکس...